Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.
Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.
У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.
Половина — одна вторая доля предмета или 1/2.
Треть — одна третья доля предмета или 1/3.
Четверть — одна четвертая доля предмета или 1/4.
Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.
Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:
Понятие дроби
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:
обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
десятичный вид — 0,5.
Виды дробей:
Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 — 0,3)/5.
Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x — y). Значение дроби зависит от данных значений букв.
Какие еще бывают дроби:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.
Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.
Как устроена обыкновенная дробь
Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.
Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.
Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.
Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.
Черта между числителем и знаменателем — символ деления.
Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.
Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.
Как устроена десятичная дробь
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства дробей
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:
где a, b, k — натуральные числа.
Основные свойства
Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде.
Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!
Действия с дробями
С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.
Сравнение дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:
В обеих дробях знаменатель равен 5.
В первой дроби числитель равен 1, во второй дроби равен 4.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.
Приведем дроби к общему знаменателю:
Сравним дроби с одинаковыми знаменателями:
Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ);
сравнить полученные дроби.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей, которое станет их общим знаменателем.
Разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, то есть найти для каждой дроби дополнительный множитель.
Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Сокращение дробей
Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.
Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.
В этом примере делим обе части дроби на двойку.
Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).
Найдем наименьшее общее кратное для определения единого делителя.
Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90
Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
Полученные числа запишем справа сверху над числителем.
Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.
Проверим полученный результат:
если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Ход решения одной строкой:
Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
Сложить целые части.
Сложить дробные части.
Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.
Суммировать полученные результаты.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Умножение и деление дробей
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.
Чтобы умножить два смешанных числа, надо:
преобразовать смешанные дроби в неправильные;
перемножить числители и знаменатели дробей;
сократить полученную дробь;
если получилась неправильная дробь, преобразовать в смешанную.
Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:
числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;
знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.
Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.
Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.
Для деления смешанных чисел необходимо:
представить числа в виде неправильных дробей;
разделить то, что получилось друг на друга.
Источник
Дополнительные сведения о дробях
В этом уроке мы коснёмся тех моментов, о которых не упоминали при изучении дробей, посчитав что на первых порах они создают трудности для обучения.
Правильные и неправильные дроби
В самом начале своего пути при изучении дробей мы узнали, что правильная дробь — это та дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
В школьной литературе можно встретить другое определение правильной дроби. Выглядит оно следующим образом:
Правильная дробь всегда меньше единицы.
Как понять данное определение? Дробь сама по себе указывает на то, что какой-либо объект разделен на несколько частей. И это всегда один единственный объект. Под единицей именно это и подразумевается.
Например, пусть у нас имеется одна пицца:
В данном случае она и является единицей.
Если мы отрежем от этой пиццы половину, то есть (одну вторую пиццы), то наш кусок будет меньше, чем вся целая пицца:
В этом и заключается суть фразы «правильная дробь всегда меньше единицы».
Наша половинка пиццы является дробью и она меньше одной целой пиццы, то есть меньше единицы:
Это выражение можно доказать. Если мы вычислим дробь , то получим десятичную дробь 0,5. А это рациональное число меньше единицы:
На координатной прямой можно увидеть, как располагаются эти числа:
Видно, что рациональное число 0,5 располагается левее, чем 1. А мы помним, что чем левее число располагается на координатной прямой, тем оно меньше.
С неправильными дробями всё было наоборот. Неправильной дробью мы назвали ту дробь, у которой числитель больше знаменателя.
Но в школьной литературе можно встретить другое определение неправильной дроби. Выглядит оно следующим образом:
Неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей.
Например, рассмотрим неправильную дробь . Выделим в этой дроби целую часть, получим . Изобразим эту смешанную дробь в виде одной целой пиццы и ещё половинки пиццы:
Вместе одна целая пицца и ещё половина пиццы больше, чем просто одна целая пицца
В этом и заключается суть фразы «неправильная дробь всегда больше единицы».
Одна целая пицца и ещё половина пиццы описывается смешанной дробью и эта смешанная дробь больше единицы:
Переведём смешанную дробь обратно в неправильную дробь, чтобы не противоречить правилу. Ведь речь в данном случае идёт о неправильных дробях:
что схематически будет выглядеть так:
Выражение можно доказать. Если мы вычислим дробь , то получим десятичную дробь 1,5. А это рациональное число больше единицы:
На координатной прямой можно увидеть, как располагаются эти числа:
Видно, что рациональное число 1,5 располагается правее, чем 1. А мы помним, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше.
Неправильной также называется дробь равная единице. Речь в данном случае идет о тех дробях, у которых числитель и знаменатель равны.
Рассмотрим дробь . Изобразим её в виде двух одинаковых кусочков пиццы:
Фактически речь идёт не о дроби, а об одной целой пицце:
В этом и заключается суть фразы «неправильная дробь может равняться единице».
Любое целое число отличное от нуля (не равное нулю) можно представить в виде неправильной дроби со знаменателем 1. Например, числа 3, 5, 9, 12 можно представить в виде неправильных дробей со знаменателем 1
Представление объекта в виде единицы позволяет проще решать задачи. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Куплен один шоколадный батончик. От него отрезали треть. Сколько батончика осталось?
Осталось две трети батончика. Сам батончик можно описать цифрой 1, далее из этой единицы вычесть треть:
Не приводя на бумаге никаких вычислений, можно ответить на вопрос подобной задачи. Сказано «отрезали треть» — значит сразу нужно обратить внимание на то, что знаменатель равен 3.
Если отрезали одну часть из трёх, то сколько частей должно остаться? Верно, две части. Поэтому и ответ «две части из трёх» или «две трети».
Пример 2. Куплен один пирог. От него отрезали две шестых. Сколько пирога осталось?
Осталось четыре шестых пирога. Сам пирог можно описать цифрой 1, далее из этой единицы вычесть две шестых:
Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, мы находили НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей этих дробей. Затем делили найденный НОК на знаменатель первой дроби и получали дополнительный множитель для первой дроби.
То же самое мы делали и для второй дроби — делили НОК на знаменатель второй дроби и получали дополнительный множитель для второй дроби.
Затем дроби умножались на свои дополнительные множители. В результате они обращались в дроби, у которых одинаковые знаменатели. К примеру, выражение вычисляется следующим образом:
Но есть и другой способ приведения дробей к общему знаменателю. Этим способом часто пользуются школьники и ленивые студенты. Суть этого способа заключается в том, что роль дополнительных множителей берут на себя знаменатели обеих дробей, причем происходит это «крест-накрест» — знаменатель первой дроби становится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби становится дополнительным множителем первой дроби.
Вычислим предыдущее выражение этим способом. Знаменатель первой дроби 2 становится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби 6 становится дополнительным множителем первой дроби:
Далее числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель и вычисляем:
Преимущество данного способа в том, что не нужно находить НОК знаменателей обеих дробей. В процессе вычисления всё выравнивается само. Единственный недостаток заключается в том, что выражение становится более длинным и корявым.
Сравните выражения, которые мы вычислили сначала первым способом, а затем вторым:
Выражение, вычисленное первым способом, намного аккуратнее и короче, нежели второе.
Вторым способом мы будем пользоваться при изучении алгебры. В алгебре работать с буквенными выражениями приходиться чаще, чем с числовыми.
К примеру, если перед нами будет стоять задача привести буквенное выражение к общему знаменателю, то у нас не будет другого выхода, кроме как воспользоваться методом «крест-накрест», то есть использовать второй способ, который мы сейчас рассмотрели:
Нахождение дроби от числа
Чтобы найти дробь от числа, мы делим это число на знаменатель искомой дроби и полученный результат умножаем на числитель искомой дроби.
Например, чтобы найти от 10 сантиметров, нужно 10 разделить на 5, и полученный результат умножить на 2
Получили ответ 4. Значит от десяти сантиметров составляют 4 сантиметра. Схематически это выглядит примерно так:
Но есть и второй вариант решения. Для нахождения от десяти сантиметров, достаточно умножить 10 на . Тогда мы получим тот же результат, как и в прошлый раз, но получим мы его в одно действие:
Поэтому можно взять на заметку следующее правило нахождения дроби от числа:
Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на искомую дробь.
Пример 2. Найти от двух часов.
Два часа это 120 минут. Чтобы найти от 120 минут, нужно 120 умножить на дробь
Значит от двух часов составляют 80 минут.
Нахождение числа по дроби
Чтобы найти всё число по его дроби, мы делили это число на числитель имеющейся дроби и полученный результат умножали на знаменатель имеющейся дроби.
Например, зная что рулетки составляет 12 см, мы можем найти длину всей рулетки. Для этого 12 нужно разделить на 2, и полученный результат умножить на 3
Получили 18. Значит длина всей рулетки равна 18 см.
Но есть и второй вариант решения. Для нахождения длины всей рулетки, достаточно 12 разделить на дробь . Тогда мы получим тот же результат, как и в прошлый раз, но получим мы его в одно действие:
Поэтому можно взять на заметку следующее правило нахождения числа по дроби:
Чтобы найти число по дроби, нужно это число разделить на данную дробь.
Пример 2.всего пути составляет 6 км. Найти длину всего пути.
Чтобы найти длину всего пути, достаточно 6 разделить на дробь
Получили ответ 15. Значит длина всего пути составляет 15 километров.
Десятичная точка в дробях
Запятую в десятичной дроби, которая отделяет целую часть от дробной, по-другому называют десятичной точкой.
Дело в том, что в некоторых источниках целая часть от дробной отделяется именно точкой, а не запятой. Например:
2.5 (две целых пять десятых)
15.65 (пятнадцать целых шестьдесят пять сотых)
Точка часто используется для записи десятичных дробей на компьютере — в программировании и при работе в математических пакетах. В остальных случаях: на письме и при подготовке документов, в десятичных дробях чаще используется запятая, а не точка.
Мы используем в десятичных дробях запятую, а не точку, поэтому разумнее называть эту запятую десятичной запятой.
Но десятичную запятую большинство людей тоже называют десятичной точкой. Что в принципе не является ошибкой, потому как речь всё равно идёт о разделителе, котором отделяет целую часть от дробной.
Давайте и мы будем называть свою запятую в десятичных дробях десятичной точкой. Это словосочетание проговаривается легче и приятнее на слух.
Десятичная точка используется для увеличения или уменьшения дроби в 10, 100, 1000 и более раз. При увеличении десятичной дроби, десятичная точка передвигается вправо, а при уменьшении — влево. Чтобы быстро запомнить это, можно воспользоваться фразами «чем правее, тем больше» и «чем левее, тем меньше».
Пример 1. Увеличить десятичную дробь 6,3 в десять раз.
Чтобы увеличить десятичную дробь 6,3 в десять раз, достаточно передвинуть десятичную точку вправо на одну цифру, получим 63.
Пример 2. Уменьшить десятичную дробь 6,3 в десять раз.
Для уменьшения дроби 6,3 в десять раз достаточно передвинуть десятичную точку влево на одну цифру, получим 0,63
На вопрос «как узнать на сколько цифр передвигать десятичную точку?» , нужно смотреть во сколько увеличивается (или уменьшается) десятичная дробь. Если дробь нужно увеличить (или уменьшить) в десять раз, то десятичная точка сдвигается на одну цифру.
Если дробь нужно увеличить (или уменьшить) в сто раз, то десятичная точка сдвигается на две цифры.
Если дробь нужно увеличить (или уменьшить) в тысячу раз, то десятичная точка сдвигается на три цифры. В общем, всё зависит от количества нулей во множителе.
Например, увеличить дробь в десять раз означает умножить её на 10. Мы помним, что для того чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно в этой дроби передвинуть запятую вправо на одну цифру (поскольку в числе 10 один ноль). Теперь можно не заучивать подобные правила. Такое умножение можно легко выполнить, передвинув десятичную точку.
Пример 3. Увеличить десятичную дробь 6,3 в тысячу раз.
Чтобы увеличить десятичную дробь 6,3 в тысячу раз, достаточно передвинуть десятичную точку вправо на три цифры, получим 6300. Если после запятой не хватает цифр, то вместо недостающих цифр записывают нули, что мы и сделали.
Пример 4. Уменьшить десятичную дробь 12,5 в сто раз.
Для уменьшения дроби 12,5 в сто раз, достаточно передвинуть десятичную точку влево на две цифры, получим 0,125
Десятичную точку можно использовать не только в десятичных дробях. Её можно использовать для увеличения (уменьшения) и других чисел в 10, 100 или в 1000 раз.
Возьмём к примеру целое число 325 и поставим в конце точку, получим 325 с точкой. Воспользуемся в этот раз точкой, так как её легче изобразить на рисунке:
Попробуем уменьшить это число в десять раз. Для этого достаточно будет передвинуть точку влево на одну цифру, получим 32.5
Попробуем увеличить число 123 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры вправо, получим 123000.
Попробуем уменьшить число 123 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры влево, получим 0,123
Попробуем уменьшить число 65 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры влево, получим 0,065
Попробуем увеличить число 65 в сто раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на две цифры вправо, получим 6500.
Составные выражения
Встречаются задачи, в которых требуется вычислить выражение составленное из нескольких дробей. Например,
Такое выражение вычисляется согласно порядку действий. В данном случае вычисление будет выполнено последовательно слева направо:
Если из пиццы вычесть пиццы, затем прибавить пиццы, затем вычесть пиццы, то останется пиццы
Если вам тяжело понять данный пример, попробуйте самостоятельно решить его на бумаге, делая соответствующие рисунки к каждой дроби.
Пример 2. Найти значение выражения
В данном примере сначала необходимо выполнить умножение затем сложение и вычитание
Если пиццы увеличить в два раза, то получится одна целая пицца
Затем если к пиццы прибавить эту целую пиццу, а затем из полученного результата вычесть пиццы, то получится пиццы
Пример 3. Найти значение выражения
Сначала желательно вычислить выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, а именно выражения 2−1 и 1+1,
Дальнейшее вычисление не составляет особого труда плюс равно
Конечно, можно было записать в одном числителе выражения, находящиеся в числителях обеих дробях. От этого ответ не изменился бы:
Но в некоторых случаях возможны подвохи, особенно если из одной дроби вычитается другая. Следующий пример демонстрирует это.
Пример 4. Найти значение выражения
Вычислим выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, а именно выражения 2+1 и 2 −1
Ну и нетрудно догадаться, что равно или (при условии, что дробь будет сокращена на 2)
Все логично. Если из пиццы вычесть пиццы, то получится пиццы.
Теперь попробуем решить данный пример, записав в одном числителе оба выражения, находящиеся в числителях обеих дробей:
Получается совсем другой ответ. Этот ответ не является правильным. Давайте посмотрим, что представляет собой выражение .
Для начала запишем его следующим образом:
Теперь попробуем проследить весь процесс вычисления этого выражения. Предположим, что имелось пиццы
К ней добавили еще пиццы
Затем из получившейся пиццы вычитается
Затем из получавшейся пиццы вычитают еще пиццы
Получился 0, то есть пицца исчезла. Но мы знаем, что должно было остаться пиццы. Поэтому при вычислении дробных выражений следует быть внимательным, особенно при вычитании выражений, содержащих в числителе другие выражения.
Если хочется сэкономить время и записать в числителе оба выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, то второй числитель нужно взять в скобки. Это спасёт от ошибки:
Пример 5. Найти выражения
Вычислим выражения, находящиеся в числителях обеих дробей:
Приведем полученные дроби к общему знаменателю и как обычно вычислим полученное выражение:
Если из вычесть пиццы, то получится пиццы
Пример 6. Найти значение выражения
В первую очередь необходимо выполнить умножение:
Далее выполняется сложение:
Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже
16 thoughts on “Дополнительные сведения о дробях”
Здравствуйте! Админ, отличный сайт, я хотел бы узнать, будет ли продолжение?
Доброго времени суток.. Занимаюсь вашими уроками уже второй день, дошел уже до 25-го.. С математикой у меня не было проблем в школе, но закончил я ее три года назад, и многое подзабыл, а надо ЕГЭ в этом году сдавать.. Поначалу первые 10 уроков казались смешными, потому что до того легкие и так подробно разъяснены что даже первоклашке не составит трудности все выучить, но все же начал читать, и увидел не мало полезных и интересных способов решения про которые не говорили учителя в школе.. Спасибо Вам большое, объясняете понятно и доходчиво, и очень этим помогаете)) хотелось бы узнать будут ли в ближайшее время темы про функции, логарифм и интегралов, нахождения точек экстремума??
Доброго времени суток. Админ, хотелось бы еще знать, на данный момент 39 уроков, это тянет на какой класс если отталкиваться от школьной программы?
Здравствуйте. На сайте смешанная программа, не привязанная к классам. В одном уроке могут затрагиваться темы как из младших так и из старших классов. Мы посчитали, что если изучать математику в такой последовательности, то можно выйти на более менее сносный уровень владения математикой, чтобы можно было увереннее себя чувствовать в школе или другом учебном заведении
Соглашаюсь , подтверждаю.Последовательность очень хорошая , для начинающих просто класс!
Мда, из 10 примеров решил правильно только половину. Придётся повторять сложение и вычитание рациональных чисел
Здравствуйте еще раз!) Прочел все ваши уроки и лажу по сайтам в поисках новой информации но везде сталкиваюсь с одной и той же проблемой… , вычитание отрицательного числа из отрицательного. Согласно правилу, нужно найти модули отрицательных чисел, и из большего модуля вычесть меньший и впереди поставить знак того модуля, который больше. В примере номер 10, где нужно — 2/9 — (-1/3) при нахождении модуля все числа положительные и дробь 3/9 больше дроби 2/9 но исходные знаки у обеих добей то отрицательный… Откуда взялся положительный? Выходит что мы просто игнорирует два знака минуса и принимаем второе слогаемое автоматом за положительное и получаем -2/3 + 3/9 но это же совсем другое выражение… Объясните, пожалуйста, а то я вообще не могу понять как так происходит.
Здравствуйте) Ваш сайт просто замечателен, аналогов не существует. Здесь все разбирается до мельчайших подробностей. С Вами изучение математики делается увлекательным и интересным занятием. Спасибо Вам огромное))) Хотелось бы добавить: 1) Номер кошелька, чтобы каждый желающий мог поддержать проект 2) По возможности в некоторых темах больше заданий для самостоятельной работы 3)По возможности публиковать уроки немножко чаще А в целом все отлично)))
А я помню из школьной программы такое правило: Плюс на плюс дает плюс Плюс на минус дает минус Минус на плюс дает минус Минус на минус дает плюс Почему мы его не используем здесь?
100 рублей на то, что админу не составит большого труда улитку научить математике.
не верная ссылка на следующий урок
Замечательная подача материала! Спасибо!
Я студент-заочник, уже стар, для учёбы и двоечником в школе был. Мне очень повезло, что наткнулся на ваш сайт, он очень помогает мне в учёбе, всё так внятно и доходчиво, особенно с этой пиццей, прикольно так, прям для конкретных дурней, как я:) Но после ваших уроков чувствую себя Архимедом. Спасибо, даже не жалко поделиться и денежкой с телефона.