Когда формулы приведения не работают

Формулы приведения в тригонометрии: примеры, таблицы, доказательства

Тригонометрические функции

tg α =	sin α	, α ≠	π	+ πn , n є Z
	cos α		2

ctg α =	cos α	, α ≠ π + πn , n є Z
	sin α

sec α =	1	, α ≠	π	+ πn , n є Z
	cos α		2

cosec α =	1	, α ≠ π + πn , n є Z
	sin α

Формулы двойного угла.

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 – tg² α)

Правила преобразования формул приведения.

1) Если аргумент содержит , где n – нечетное натуральное число , то функция меняется на “конфункцию”, т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если n – четное натуральное число , то название функции не изменяется.

2) Определяем знак (“+” или “-“) значения первоначальной функции. Преобразованное выражение сохраняет знак своего родителя.

Стоит ли учить формулы приведения?

Вы в состоянии выучить вот такую таблицу?

А без приведения сложных аргументов тригонометрических функций к аргументам первой четверти на ЕГЭ по математике никуда.

Но нет необходимости учить эту таблицу !

Нужно просто потратить немного времени и понять алгоритм применения формул приведения.

Не будем терять время! Поехали!

Формулы приведения. Как запомнить?

Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить. » – это значит, что действительно, это необходимо именно выучить.

Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.

Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:

• задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.
• задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.
• задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.
• стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.

И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.

Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от 0 до 450 градусов

Формулы приведения:

Угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов.

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

• Определите знак функции в соответствующей четверти.

• Функция изменяется на кофункцию

• Функция на кофункцию не изменяется

Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?

Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.

Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

• Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов.
• Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов.
• Угол лежит во второй четверти, синус во второй четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов.

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

В статье на решение прямоугольного треугольника был отмечен такой факт – синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.

И наоборот – косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого острого угла в нём. Вот вам и подтверждение этого с помощью формул приведения.

Конечно, определить значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.

В дальнейшем, применяя свойство периодичности, четности (нечётности) вы без труда определите значение любого угла: 10500, -7500, 23700 и любые другие. Статья об этом в будущем обязательно будет, не пропустите!

Когда в решениях задач буду использовать формулы приведения, то обязательно буду ссылаться на эту статью, чтобы вы всегда смогли освежить в памяти представленную выше теорию. На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.

Формулы приведения тригонометрических функций − теория, примеры и решения

Докажем формулы приведения тригонометрических функций для аргумента (или ) . (Здесь и далее все углы α острые т.е. меньше 90° (или меньше )). На декартовой прямоугольной системе координат проведем окружность с радиусом 1 и возьмем точки M₁ и M₂ так, чтобы , . Опустив перпендикуляры из точек M₁ и M₂ на ось OX, получим прямоугольные треугольники и (Рис.1).

Поскольку , то . Очевидно, что , так как гипотенузы этих прямоугольных треугольников равны и . Из равенства этих треугольников следует:

,

Из определений синуса и косинуса (о синусе и косинусе смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор ) имеем:

,

.

Выведем, далее формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для аргумента (Рис.2).

Тангенсу угла соответствует ординат точки Q, что овечает отрезку QA, взятой со знаком минус (подробнее о тангенсе и котангенсе смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор ).

.

Котангенсу угла α соответствует абсцис точки P, что отвечает отрезку BP:

.

Прямоугольные треугольники QAO и PBO равны, так как, , . Тогда .

Из вышеизложенного следует:

Котангенс угла − это абсцис точки R, т.е.

.

Тангенс угла α − это ординат точки S, т.е.

.

Прямоугольные треугольники RBO и SAO равны, т.к. , , . Тогда .

Таким образом можно вывести формулу приведения функции котангенс для угла :

Выведем формулы приведения тригонометрических функций синус и косинус для угла (Рис.3):

Из следует и .

,

,

.

Аналогично, выведем формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для угла (Рис.4):

.

Поскольку , следовательно . Тогда

.

Так как , следовательно . Тогда

.

Аналогично выводятся формулы приведения тригонометрический функций для углов , , .

Определение для острых углов[править | править код]

В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — прямоугольный треугольник с острым углом α . Тогда:

Построив систему координат с началом в точке , направлением оси абсцисс вдоль и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).

Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами (360°) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и (180°) для тангенса и котангенса.

Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.

Формулы приведения: список и таблицы

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.

Сначала запишем все формулы приведения:

Для угла (`frac 2 pm alpha`) или (`90^circ pm alpha`):

`sin(frac 2 — alpha)=cos alpha;` ` sin(frac 2 + alpha)=cos alpha`
`cos(frac 2 — alpha)=sin alpha;` ` cos(frac 2 + alpha)=-sin alpha`
`tg(frac 2 — alpha)=ctg alpha;` ` tg(frac 2 + alpha)=-ctg alpha`
`ctg(frac 2 — alpha)=tg alpha;` ` ctg(frac 2 + alpha)=-tg alpha`

Для угла (`pi pm alpha`) или (`180^circ pm alpha`):

`sin(pi — alpha)=sin alpha;` ` sin(pi + alpha)=-sin alpha`
`cos(pi — alpha)=-cos alpha;` ` cos(pi + alpha)=-cos alpha`
`tg(pi — alpha)=-tg alpha;` ` tg(pi + alpha)=tg alpha`
`ctg(pi — alpha)=-ctg alpha;` ` ctg(pi + alpha)=ctg alpha`

Для угла (`frac <3pi>2 pm alpha`) или (`270^circ pm alpha`):

`sin(frac <3pi>2 — alpha)=-cos alpha;` ` sin(frac <3pi>2 + alpha)=-cos alpha`
`cos(frac <3pi>2 — alpha)=-sin alpha;` ` cos(frac <3pi>2 + alpha)=sin alpha`
`tg(frac <3pi>2 — alpha)=ctg alpha;` ` tg(frac <3pi>2 + alpha)=-ctg alpha`
`ctg(frac <3pi>2 — alpha)=tg alpha;` ` ctg(frac <3pi>2 + alpha)=-tg alpha`

Для угла (`2pi pm alpha`) или (`360^circ pm alpha`):

`sin(2pi — alpha)=-sin alpha;` ` sin(2pi + alpha)=sin alpha`
`cos(2pi — alpha)=cos alpha;` ` cos(2pi + alpha)=cos alpha`
`tg(2pi — alpha)=-tg alpha;` ` tg(2pi + alpha)=tg alpha`
`ctg(2pi — alpha)=-ctg alpha;` ` ctg(2pi + alpha)=ctg alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(pi + alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin beta` и столбца ` pi + alpha`. Получим ` sin(pi + alpha)=-sin alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Формулы половинного угла.

Синус половинного угла. Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол α/2 в левой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.

Косинус половинного угла:

Тангенс половинного угла:

Котангенс половинного угла:

Выражение синуса через тангенс половинного угла:

Выражение косинуса через тангенс половинного угла:

Выражение тангенса через тангенс половинного угла:

Выражение котангенса через тангенс половинного угла:

Формулы приведения для косинуса

Тригонометрические неравенства.

Простейшие тригонометрические неравенства:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx a, cosx ≥ a, cosx a, tanx ≥ a, tanx a, cotx ≥ a, cotx 1. Задаем себе вопрос: «Меняется ли название функции на кофункцию?» (то есть синнус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс).

Чтобы ответить на этот вопрос нужно, не смейтесь, – подвигать головой вдоль оси, на которой располагается ключевая точка. Ключевые точки всегда располагаются здесь (см. рис.):

Например, в формулах – ключевые точки – это .

Так вот если вы мотаете головой вдоль горизонтальной прямой , потому что ключевая точка располагается на ней, то вы, как бы, отвечаете «нет» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию?»

Если вы киваете головой вдоль вертикальной прямой , потому что ключевая точка располагается на ней, то вы отвечаете «да» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию?».

2. Ставим справа, на выходе, тот знак, какой несет в себе левая, исходная, часть.

Источник