Почему формула герона не работает

Формула Герона для треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулу Герона, пользуясь которой можно найти площадь треугольника. Также разберем примеры решения задач для того, чтобы закрепить представленный материал.

Формула площади

Площадь треугольника ( S ) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра ( p ) на разности полупериметра и каждой из его сторон ( a, b, c ).

Полупериметр ( p ) вычисляется таким образом:

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Формула получила такое название в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, который изучал треугольники с целочисленными сторонами и площадью (героновские). К таким, например, относится прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который также называют египетским.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение
Для начала найдем полупериметр:
p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Теперь воспользуемся формулой Герона, подставив в нее заданные значения:
= .

Задание 2
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равняется 15 см, а одного из катетов – 9 см. Вычислите площадь фигуры.

Решение
Пусть гипотенуза – это c , известный катет – a , а неизвестный – b .

Применим Теорему Пифагора, чтобы найти длину катета b :
b 2 = = = , следовательно,

Полупериметр треугольника равен:
p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Остается только использовать формулу для нахождения площади:
= = .

Источник

Формула Герона.

Формула Герона позволяет определить площадь треугольника (S) из его сторон a, b, c.

Чтобы вычислить площадь треугольника ∆ABC, если известны длины его сторон a, b и c, используют формулу Герона:

где p — полупериметр треугольника:

.

Рассмотрим нахождение площади треугольника с помощью формулы Герона:

Есть треугольник со сторонами a = 5, b = 6, c = 7. Вычислим полупериметр:

Далее подставляем данные в формулу для определения площади:

Площадь треугольника, определенная при помощи формулы Герона равняется 14,7 см 2 .

Формула Герона, доказательство.

В нем: CH — высота треугольника ABC, которая проведена из вершины C, |CH|=h, |AH|=x, |BH|=y.

Тогда c=x+y, и из теоремы Пифагора из треугольников ACH и BCH имеем:

Учитывая, что x+y=c, получаем и .

Складываем последнее равенство с равенством y+x=c, получаем:

Далее находим высоту h треугольника:

Подставляем эти выражения в определенное выражение для h 2 :

Учитываем то, что , получаем требуемое.

Источник

Что можно вычислить по формуле Герона

Формула Герона

Формула Герона носит такое название в честь греческого математика и инженера Герона Александрийского. Он жил в I веке нашей эры. Герон занимался механикой, оптикой, геометрией и гидростатикой. Учёный интересовался треугольниками с целочисленными сторонами и целочисленными площадями. Такие фигуры получили название Героновых треугольников.

Формулировка теоремы Герона

Формула Герона – это арифметическая формула для вычисления площади треугольника по длинам его сторон. В таком случае площадь равна корню из произведения разностей полупериметра и каждой из его сторон.

Формула и доказательство

Формула Герона выглядит следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

где S – это площадь треугольника; a, b, c – это стороны треугольника; p – это полупериметр треугольника.

Чтобы вычислять полупериметр, нужно пользоваться формулой:

Приведем доказательство.

Для этого рассмотрим треугольник ABC.

CH – высота треугольника.

По теореме Пифагора из треугольников ACH и BCH получаем:

Если сложить последнее равенство с \(y+x=c\) , то получается

Найдем высоту треугольника.

Так как \(p=\frac12\left(a+b+c\right)\) , то \( b+c=2p-a\) , \( a+b=2p-c\) , \(a+c=2p-b\) , \(a+b+c=2p\) .

С помощью этих равенств найдем высоту.

А так как \(S=\frac12ch\) , то теорема доказана.

Для каких треугольников действует теорема

Применение формулы Герона допустимо для треугольников, у которых известны длины всех их сторон.

Примеры решения задач

Задача 1

Рассчитать площадь треугольника, если a=6, b=8, c=6.

Решение

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 2

Вычислить площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.

Решение

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Если AD = 51, AC = 40 и BD = 74, то AO = 20, OD = 37.

По формуле Герона:

Ответ: 1224 см 2 .

Задача 3

В треугольнике ABC три стороны: AB = 26, BC = 30 и AC = 28. Найти часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины B.

Решение

BP и BQ – высота и биссектриса треугольника.

По формуле Герона:

По свойству биссектрисы треугольника:

Соответственно \(AQ=\frac<13><28>AC = 13\) .

По теореме Пифагора из треугольника APB получаем:

Следовательно, \(PQ = AQ – AP = 13 – 10 = 3\)

Источник

Формула Герона — Heron’s formula

В геометрии , формула Герона (иногда называемая формулой героя ), названная в честь Героя Александрии , дает площадь в виде треугольника , если длина всех трех сторон известна. В отличие от других формул площади треугольника, нет необходимости сначала рассчитывать углы или другие расстояния в треугольнике.

СОДЕРЖАНИЕ

Формулировка

Формула Герона утверждает , что площадь из треугольника , стороны которого имеют длину , б и с в

А знак равно s ( s — а ) ( s — б ) ( s — c ) , <\ displaystyle A = <\ sqrt >,>

где s — полупериметр треугольника; то есть,

s знак равно а + б + c 2 . <\ displaystyle s = <\ frac <2>>.>

Формулу Герона также можно записать как

А знак равно 1 4 ( а + б + c ) ( — а + б + c ) ( а — б + c ) ( а + б — c ) <\ displaystyle A = <\ frac <1><4>> <\ sqrt <(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc)>>> А знак равно 1 4 2 ( а 2 б 2 + а 2 c 2 + б 2 c 2 ) — ( а 4 + б 4 + c 4 ) <\ displaystyle A = <\ frac <1><4>> <\ sqrt <2 (a ^ <2>b ^ <2>+ a ^ <2>c ^ <2>+ b ^ <2>c ^ <2>) — (a ^ <4>+ b ^ <4>+ c ^ <4>)>>> А знак равно 1 4 ( а 2 + б 2 + c 2 ) 2 — 2 ( а 4 + б 4 + c 4 ) <\ displaystyle A = <\ frac <1><4>> <\ sqrt <(a ^ <2>+ b ^ <2>+ c ^ <2>) ^ <2>-2 (a ^ <4>+ b ^ <4>+ c ^ <4>)>>> А знак равно 1 4 4 ( а 2 б 2 + а 2 c 2 + б 2 c 2 ) — ( а 2 + б 2 + c 2 ) 2 <\ displaystyle A = <\ frac <1><4>> <\ sqrt <4 (a ^ <2>b ^ <2>+ a ^ <2>c ^ <2>+ b ^ <2>c ^ <2>) — (a ^ <2>+ b ^ <2>+ c ^ <2>) ^ <2>>>> А знак равно 1 4 4 а 2 б 2 — ( а 2 + б 2 — c 2 ) 2 . <\ displaystyle A = <\ frac <1><4>> <\ sqrt <4a ^ <2>b ^ <2>— (a ^ <2>+ b ^ <2>-c ^ <2>) ^ <2>>>.>

Пример

Пусть △ ABC — треугольник со сторонами a = 4 , b = 13 и c = 15 . Полупериметр этого треугольника равен

s = 1 / 2 ( a + b + c ) = 1 / 2 (4 + 13 + 15) = 16 , а площадь равна

А знак равно s ( s — а ) ( s — б ) ( s — c ) знак равно 16 ⋅ ( 16 — 4 ) ⋅ ( 16 — 13 ) ⋅ ( 16 — 15 ) знак равно 16 ⋅ 12 ⋅ 3 ⋅ 1 знак равно 576 знак равно 24. <\ displaystyle <\ begin A & = <\ sqrt > = <\ sqrt <16 \ cdot (16- 4) (16-13) (16-15)>> \\ & = <\ sqrt <16 \ cdot 12 3 1>> = <\ sqrt <576>> = 24. \ конец <выровнен>>>

В этом примере длины сторон и площадь являются целыми числами , что делает его треугольником Герона . Однако формула Герона одинаково хорошо работает в тех случаях, когда одно или все эти числа не являются целыми.

История

Формула зачисляются Heron (или герой) Александрийский , и доказательство можно найти в его книге Метрики , написанной около 60 г. н.э. Было высказано предположение , что Архимед знал формулу более двух веков назад, и с тех пор Metrica представляет собой сборник математические знания, доступные в древнем мире, вполне возможно, что формула предшествует ссылке, приведенной в этой работе.

Формула, эквивалентная формуле Герона, а именно:

А знак равно 1 2 а 2 c 2 — ( а 2 + c 2 — б 2 2 ) 2 <\ displaystyle A = <\ frac <1><2>> <\ sqrt c ^ <2>— \ left ( <\ frac + c ^ <2>-b ^ <2>> <2>> \ right) ^ <2>>>>

был открыт китайцами независимо от греков. Он был опубликован в « Математическом трактате в девяти разделах» ( Цинь Цзюшао , 1247).

Доказательства

В первоначальном доказательстве Герона использовались циклические четырехугольники . Другие аргументы апеллируют к тригонометрии, как показано ниже, или к центру и одной вневписанной окружности треугольника, или к теореме Де Гуа (для частного случая острых треугольников).

Тригонометрическое доказательство с использованием закона косинусов

Далее следует современное доказательство, основанное на алгебре и весьма отличное от доказательства Герона (в его книге «Метрика»). Пусть a , b , c — стороны треугольника, а α , β , γ — углы, противоположные этим сторонам. Применяя закон косинусов, получаем

потому что ⁡ γ знак равно а 2 + б 2 — c 2 2 а б <\ displaystyle \ cos \ gamma = <\ frac + b ^ <2>-c ^ <2>> <2ab>>>

Из этого доказательства мы получаем алгебраическое утверждение, что

грех ⁡ γ знак равно 1 — потому что 2 ⁡ γ знак равно 4 а 2 б 2 — ( а 2 + б 2 — c 2 ) 2 2 а б . <\ displaystyle \ sin \ gamma = <\ sqrt <1- \ cos ^ <2>\ gamma>> = <\ frac <\ sqrt <4a ^ <2>b ^ <2>— (a ^ <2>+ b ^ <2>-c ^ <2>) ^ <2>>> <2ab>>.>

Читайте также:  Dongle bluetooth не работает

Высота треугольника на базовой а имеет длину б зш Г , и следует

А знак равно 1 2 ( база ) ( высота ) знак равно 1 2 а б грех ⁡ γ знак равно 1 4 4 а 2 б 2 — ( а 2 + б 2 — c 2 ) 2 знак равно 1 4 ( 2 а б — ( а 2 + б 2 — c 2 ) ) ( 2 а б + ( а 2 + б 2 — c 2 ) ) знак равно 1 4 ( c 2 — ( а — б ) 2 ) ( ( а + б ) 2 — c 2 ) знак равно ( c — ( а — б ) ) ( c + ( а — б ) ) ( ( а + б ) — c ) ( ( а + б ) + c ) 16 знак равно ( б + c — а ) 2 ( а + c — б ) 2 ( а + б — c ) 2 ( а + б + c ) 2 знак равно ( а + б + c ) 2 ( б + c — а ) 2 ( а + c — б ) 2 ( а + б — c ) 2 знак равно s ( s — а ) ( s — б ) ( s — c ) . <\ displaystyle <\ begin A & = <\ frac <1><2>> (<\ mbox >) (<\ mbox >) \\ & = <\ frac <1>< 2>> ab \ sin \ gamma \\ & = <\ frac <1><4>> <\ sqrt <4a ^ <2>b ^ <2>— (a ^ <2>+ b ^ <2>— c ^ <2>) ^ <2>>> \\ & = <\ frac <1><4>> <\ sqrt <(2ab- (a ^ <2>+ b ^ <2>-c ^ <2 >)) (2ab + (a ^ <2>+ b ^ <2>-c ^ <2>))>> \\ & = <\ frac <1><4>> <\ sqrt <(c ^ <2 >— (ab) ^ <2>) ((a + b) ^ <2>-c ^ <2>)>> \\ & = <\ sqrt <\ frac <(c- (ab)) (c + ( ab)) ((a + b) -c) ((a + b) + c)><16>>> \\ & = <\ sqrt <<\ frac <(b + ca)><2>> < \ frac <(a + cb)><2>> <\ frac <(a + bc)><2>> <\ frac <(a + b + c)><2>>>> \\ & = < \ sqrt <<\ frac <(a + b + c)><2>> <\ frac <(b + ca)><2>> <\ frac <(a + cb)><2>> <\ frac <(a + bc)><2>>>> \\ & = <\ sqrt >. \ end <выравнивается>>>

Разность двух квадратов факторизации был использован в двух различных этапов.

Алгебраическое доказательство с использованием теоремы Пифагора

Следующее доказательство очень похоже на доказательство Raifaizen. По теореме Пифагора мы имеем b 2 = h 2 + d 2 и a 2 = h 2 + ( c — d ) 2 согласно рисунку справа. Вычитание этих значений дает a 2 — b 2 = c 2 — 2 кд . Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

d знак равно — а 2 + б 2 + c 2 2 c . <\ displaystyle d = <\ frac <-a ^ <2>+ b ^ <2>+ c ^ <2>> <2c>>.>

Для высоты треугольника h 2 = b 2 — d 2 . Заменяя d на формулу, приведенную выше, и применяя тождество разности квадратов, мы получаем

час 2 знак равно б 2 — ( — а 2 + б 2 + c 2 2 c ) 2 знак равно ( 2 б c — а 2 + б 2 + c 2 ) ( 2 б c + а 2 — б 2 — c 2 ) 4 c 2 знак равно ( ( б + c ) 2 — а 2 ) ( а 2 — ( б — c ) 2 ) 4 c 2 знак равно ( б + c — а ) ( б + c + а ) ( а + б — c ) ( а — б + c ) 4 c 2 знак равно 2 ( s — а ) ⋅ 2 s ⋅ 2 ( s — c ) ⋅ 2 ( s — б ) 4 c 2 знак равно 4 s ( s — а ) ( s — б ) ( s — c ) c 2 . <\ displaystyle <\ begin h ^ <2>& = b ^ <2>— \ left ( <\ frac <-a ^ <2>+ b ^ <2>+ c ^ <2>> <2c >> \ right) ^ <2>\\ & = <\ frac <(2bc-a ^ ​​<2>+ b ^ <2>+ c ^ <2>) (2bc + a ^ <2>-b ^ < 2>-c ^ <2>)> <4c ^ <2>>> \\ & = <\ frac <<\ big (>(b + c) ^ <2>-a ^ <2> <\ big) > <\ big (>a ^ <2>— (bc) ^ <2><\ big)>> <4c ^ <2>>> \\ & = <\ frac <(b + ca) (b + c + a) (a + bc) (a-b + c)><4c ^ <2>>> \\ & = <\ frac <2 (sa) \ cdot 2s 2 (sc) (sb )><4c ^ <2>>> \\ & = <\ frac <4s (sa) (sb) (sc)>>>. \ End >>

Теперь применим этот результат к формуле, которая вычисляет площадь треугольника по его высоте:

А знак равно c час 2 знак равно c 2 4 ⋅ 4 s ( s — а ) ( s — б ) ( s — c ) c 2 знак равно s ( s — а ) ( s — б ) ( s — c ) . <\ displaystyle <\ begin A & = <\ frac <2>> \\ & = <\ sqrt <<\ frac > <4>> \ cdot <\ frac <4s) (sa) (sb) (sc)>>>>> \\ & = <\ sqrt >. \ end <выровнено>>>

Тригонометрическое доказательство с использованием закона котангенсов

Из первой части доказательства закона котангенсов получаем, что площадь треугольника равна

А знак равно р ( ( s — а ) + ( s — б ) + ( s — c ) ) знак равно р 2 ( s — а р + s — б р + s — c р ) знак равно р 2 ( детская кроватка ⁡ α 2 + детская кроватка ⁡ β 2 + детская кроватка ⁡ γ 2 ) <\ displaystyle <\ begin A & = r <\ big (>(sa) + (sb) + (sc) <\ big)>= r ^ <2>\ left ( <\ frac > + <\ frac > + <\ frac > \ right) \\ & = r ^ <2>\ left (\ cot <\ frac <\ alpha><2 >> + \ cot <\ frac <\ beta><2>> + \ cot <\ frac <\ gamma><2>> \ right) \ end >>

и A = rs , но, поскольку сумма полууглов равна π / 2, применяется тождество тройного котангенса , поэтому первый из них равен

А знак равно р 2 ( детская кроватка ⁡ α 2 детская кроватка ⁡ β 2 детская кроватка ⁡ γ 2 ) знак равно р 2 ( s — а р ⋅ s — б р ⋅ s — c р ) знак равно ( s — а ) ( s — б ) ( s — c ) р . <\ displaystyle <\ begin A & = r ^ <2>\ left (\ cot <\ frac <\ alpha><2>> \ cot <\ frac <\ beta><2>> \ cot <\ frac <\ gamma><2>> \ right) = r ^ <2>\ left ( <\ frac > \ cdot <\ frac > \ cdot <\ frac > \ right) \\ & = <\ frac <(sa) (sb) (sc)>>. \ end >>

Читайте также:  Как настроить телевизор самсунг без ресивера

Комбинируя два, получаем

А 2 знак равно s ( s — а ) ( s — б ) ( s — c ) , <\ Displaystyle A ^ <2>= s (sa) (sb) (sc),>

из чего следует результат.

Численная стабильность

Приведенная выше формула Герона численно нестабильна для треугольников с очень малым углом при использовании арифметики с плавающей запятой. Стабильная альтернатива включает в себя такую ​​длину сторон, чтобы a ≥ b ≥ c и вычисление

А знак равно 1 4 ( а + ( б + c ) ) ( c — ( а — б ) ) ( c + ( а — б ) ) ( а + ( б — c ) ) . <\ displaystyle A = <\ frac <1><4>> <\ sqrt <<\ big (>a + (b + c) <\ big)> <\ big (>c- (ab) <\ big)> <\ big (>c + (ab) <\ big)> <\ big (>a + (bc) <\ big)>>>.>.

Скобки в приведенной выше формуле необходимы для предотвращения численной нестабильности при оценке.

Другие формулы площади, похожие на формулу Герона

Три другие формулы площади имеют ту же структуру, что и формула Герона, но выражаются в терминах разных переменных. Во-первых, обозначив медианы сторон a , b и c соответственно как m _a , m _b и m _c и их полусумму 1 / 2 ( m _a + m _b + m _c ) в качестве σ имеем

А знак равно 4 3 σ ( σ — м а ) ( σ — м б ) ( σ — м c ) . <\ displaystyle A = <\ frac <4><3>> <\ sqrt <\ sigma (\ sigma -m_ ) (\ sigma -m_ ) (\ sigma -m_ )>> .>

Затем, обозначив высоты по сторонам a , b и c соответственно как h _a , h _b и h _c , и обозначив полусумму обратных величин высот как H = 1 / 2 ( ч −1
а + ч −1
млрд + ч −1
с ) у нас есть

А — 1 знак равно 4 ЧАС ( ЧАС — час а — 1 ) ( ЧАС — час б — 1 ) ( ЧАС — час c — 1 ) . <\ displaystyle A ^ <- 1>= 4 <\ sqrt ) (H-h_ ^ <- 1>) (H-h_ ^ <-1>)>>.>

Наконец, обозначив полусумму синусов углов как S = 1 / 2 (sin α + sin β + sin γ ) имеем

А знак равно D 2 S ( S — грех ⁡ α ) ( S — грех ⁡ β ) ( S — грех ⁡ γ ) <\ Displaystyle A = D ^ <2><\ sqrt >>

где D — диаметр описанной окружности: D = а / грех α знак равно б / грех β знак равно c / грех γ .

Обобщения

Формула Герона — это частный случай формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника . Формула Герона и формула Брахмагупты являются частными случаями формулы Бретшнайдера для площади четырехугольника . Формулу Герона можно получить из формулы Брахмагупты или формулы Бретшнайдера, установив одну из сторон четырехугольника равной нулю.

Формула Герона также является частным случаем формулы для площади трапеции или трапеции, основанной только на ее сторонах. Формула Герона получается установкой меньшей параллельной стороны равной нулю.

Выражая формулу Герона с определителем Кэли-Менгера через квадраты расстояний между тремя заданными вершинами,

А знак равно 1 4 — | 0 а 2 б 2 1 а 2 0 c 2 1 б 2 c 2 0 1 1 1 1 0 | <\ displaystyle A = <\ frac <1><4>> <\ sqrt <- <\ begin 0 & a ^ <2>& b ^ <2>& 1 \\ a ^ <2>& 0 & c ^ <2>& 1 \\ b ^ <2>& c ^ <2>& 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \ end >>>>

иллюстрирует его сходство с формулой Тартальи для объема в виде трех-симплекс .

Другое обобщение формулы Герона на пятиугольники и шестиугольники, вписанные в круг, было обнаружено Дэвидом П. Роббинсом .

Формула типа Герона для объема тетраэдра

Если U , V , W , u , v , w — длины ребер тетраэдра (первые три образуют треугольник; u напротив U и т. Д.), То

объем знак равно ( — а + б + c + d ) ( а — б + c + d ) ( а + б — c + d ) ( а + б + c — d ) 192 ты v ш <\ displaystyle <\ text > = <\ frac <\ sqrt <\, (- a + b + c + d) \, (a-b + c + d) \, (a + b-c + г) \, (a + b + cd)>> <192 \, u v w>>>

а знак равно Икс Y Z б знак равно у Z Икс c знак равно z Икс Y d знак равно Икс у z Икс знак равно ( ш — U + v ) ( U + v + ш ) Икс знак равно ( U — v + ш ) ( v — ш + U ) Y знак равно ( ты — V + ш ) ( V + ш + ты ) у знак равно ( V — ш + ты ) ( ш — ты + V ) Z знак равно ( v — W + ты ) ( W + ты + v ) z знак равно ( W — ты + v ) ( ты — v + W ) . <\ displaystyle <\ begin a & = <\ sqrt > \\ b & = <\ sqrt > \\ c & = <\ sqrt > \\ d & = <\ sqrt > \\ X & = (w-U + v) \, (U + v + w) \\ x & = (U-v + w) \, (v-w + U) \\ Y & = (u-V + w) \, (V + w + u) \\ y & = (V-w + u) \, (w-u + V) \\ Z & = (v-W + u) \, (W + u + v ) \\ z & = (W-u + v) \, (u-v + W). \ end >>

Источник