Теорема синусов не работает

Теорема синусов

О чем эта статья:

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:

bc sinα = ca sinβ

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

• Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
• Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

• sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
• sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
• sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

sinγ = sin(180° — α)

Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Согласно теореме о сумме углов треугольника:

∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

Сторону AC найдем по теореме синусов:

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

>

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

Источник

Теорема синусов и теорема косинусов

Теорема синусов

В любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла не зависит от выбора стороны и равно диаметру описанной окружности.

Доказательство

Пусть \(R\) – радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\) . Проведём диаметр \(BA_1\) и рассмотрим треугольник \(A_1BC\) (случай, когда точки \(A_1\) и \(C\) совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол \(C\) этого треугольника прямой, поэтому \(BC = BA_1\cdot \sin\angle A_1\) , но \(\sin\angle A = \sin\angle A_1\) так как углы \(A\) и \(A_1\) либо отличаются на угол, равный \(180^\circ\) , либо совпадают.

Следовательно, \(BC = BA_1\cdot\sin\angle A\) , то есть \(\dfrac <\sin\angle A>= 2R\) . Так как в доказательстве мы не ограничивали общности, то равенства \(\dfrac <\sin\angle B>= 2R = \dfrac<\sin\angle C>\) показываются аналогично.

Теорема косинусов

В любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство

Пусть в треугольнике \(ABC\) \(AB = c\) , \(AC = b\) , \(BC = a\) , \(\angle C=\alpha\) . Докажем, что \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\alpha\) .

Проведем высоту \(BH=h\) . Пусть она разбила сторону \(AC\) на отрезки длиной \(x\) и \(y\) :

По теореме Пифагора из \(\triangle AHB: \ c^2=h^2+y^2\) ;
из \(\triangle CHB: \ a^2=x^2+h^2\) .

Вычтем из первого равенства второе: \(c^2-a^2=y^2-x^2 \Rightarrow c^2=a^2+(y-x)(y+x)=a^2+b(y-x)\) .

Заметим, что \(\cos\alpha=\dfrac xa \Rightarrow x=a\cos\alpha\) . Тогда:

Замечание

С помощью данных теорем можно легко найти все элементы треугольника, если известны, например, две стороны и угол, угол и две стороны, три стороны и т.д.

Пример

Найти стороны и углы треугольника, если медиана \(BM\) , проведенная к стороне \(AC=4\) , равна \(2\sqrt3\) , а угол треугольника \(\angle A=60^\circ\) .

Решение. Рассмотрим данный треугольник:

1) По теореме косинусов из \(\triangle ABM\) :
\((2\sqrt3)^2=2^2+AB^2-2\cdot 2\cdot AB\cdot \cos60^\circ \Rightarrow AB^2-2AB-8=0 \Rightarrow AB=4\)

2) \(\triangle ABC\) – равнобедренный ( \(AB=AC=4\) ), следовательно, \(\angle B=\angle C=\frac12\left(180^\circ-\angle A\right)=60^\circ\) .

Значит, \(\triangle ABC\) – правильный, значит, \(BC=4\) .

Источник

Теорема синусов. Доказательство

Теорема 1 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

.

(a)

Доказательство. Пусть задан треугольник ABC. Проведем высоту h_b из вершины B на сторону b (Рис.1).

Из определения синуса (см. страницу Синус и косинус. Онлайн калькулятор) следует, что синус угла α равен h_b если предполагать, что c=1. Но поскольку c может иметь любое значение, то имеем

Аналогично можем записать:

(1)

Далее, для высоты h_c, опущенной из вершины C на сторону c, имеем:

, .

.

(2)

Из (1) и (2) получим:

.

Теорема 2 (расширенная теорема синусов). Для произвольного треугольника справедливо следующее равенство:

,

(b)

где a, b, c стороны треугольника, а α, β, γ противолежащие им углы, соответственно, R− радиус описанной около треугольника окружности.

Доказательство. Пусть задан треугольник ABC и описанная окружность с радиусом R, проходящей через вершины треугольника.

В теореме 1 мы доказали справедливость равенства (a). Для доказательства (b) достаточно показать, что

.

(3)

Проведем через вершину C диаметр CD описанной окружности и соединим точки D и B.

1. Пусть точки D и A лежат по одну сторону от BC (Рис.2). Полученный треугольник BCD являестся прямоугольным треугольником с прямым углом B, поскольку его одна сторона совпадает с диаметром окружности. А для этого прямоугольного треугольника справедливо равенство:

.

Но поскольку обе эти углы опираются на дугу BC. Отсюда следует справедливость равенства (3).

2. Пусть точки D и A лежат в разные стороны от BC (Рис.3).

.

Поскольку BCD прямоугольный треугольник, то справедливо следующее равенство:

.

(4)

Покажем, что . Действительно. Так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которой он упирается, то имеем:

, .

(5)

.

(6)

Тогда из (5) и (6) получим:

.

.

(7)

Учитывая (7), уравнение (4) можно записать так:

.

(8)

Но . Тогда из (8) получим равенство (3).

Примеры и решения

Задание 1. В треугольнике ABC a=8, c=10, угол α=30°. Найти сторону b (Рис.4).

Решение. Из теоремы синусов, имеем:

.

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то β=180°−30°−36.68°=113.32°.

Далее, из теоремы синусов:

,

Задание 2. В треугольнике ABC c=16, α=30°, β=45°. Найти стороны a, b (Рис.5).

Источник