Когда не работают законы сохранения импульса

Закон cохранения импульса

О чем эта статья:

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Импульс: что это такое

Как-то раз Рене Декарт (это который придумал ту самую декартову систему координат) решил, что каждый раз считать силу, чтобы описать процессы — как-то лень и сложно.

Для этого нужно ускорение, а оно не всегда очевидно. Тогда он придумал такую величину, как импульс. Импульс можно охарактеризовать, как количество движения — это произведение массы на скорость.

Импульс тела

→ →
p = mv

p — импульс тела [кг*м/с]

m — масса тела [кг]

Закон сохранения импульса

В физике и правда ничего не исчезает и не появляется из ниоткуда. Импульс — не исключение. В замкнутой изолированной системе (это та, в которой тела взаимодействуют только друг с другом) закон сохранения импульса звучит так:

Закон сохранения импульса

Векторная сумма импульсов тел в замкнутой системе постоянна

А выглядит — вот так:

Закон сохранения импульса

→ → →
p1 + p2 + … + pn = const

p — импульс тела [кг*м/с]

Простая задачка

Мальчик массой m = 45 кг плыл на лодке массой M = 270 кг в озере и решил искупаться. Остановил лодку (совсем остановил, чтобы она не двигалась) и спрыгнул с нее с горизонтально направленной скоростью 3 м/с. С какой скоростью станет двигаться лодка?

Решение:

Запишем закон сохранения импульса для данного процесса.

p0 — это импульс системы мальчик + лодка до того, как мальчик спрыгнул,

p1 — это импульс мальчика после прыжка,

p2 — это импульс лодки после прыжка.

Изобразим на рисунке, что происходило до и после прыжка.

Если мы спроецируем импульсы на ось х, то закон сохранения импульса примет вид
0 = p1 — p2
p1 = p2

Подставим формулу импульса.
mV1 = MV2

Выразим скорость лодки V2:
V2 = mV1/M

Подставим значения:
V2 = 45*3/270 = 3/6 = ½ = 0,5 м/с

Ответ: скорость лодки после прыжка равна 0,5 м/с

Задачка посложнее

Тело массы m1 = 800 г движется со скоростью v1 = 3 м/с по гладкой горизонталь- ной поверхности. Навстречу ему движется тело массы m2 = 200 г со скоростью v2 = 13 м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.

Решение: Для данной системы выполняется закон сохранения импульса:

Импульс системы до удара — это сумма импульсов тел, а после удара — импульс «получившегося» в результате удара тела.

Спроецируем импульсы на ось х:

После неупругого удара получилось одно тело массы m1 + m2, которое движется с искомой скоростью:

m1v1 — mv2 = (m1 + m2) v

Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

v = (m1v1 — mv2)/(m1 + m2)

Переводим массу в килограммы и подставляем значения:

v = (0,8·3−0,2·13)/(0,8 + 0,2) = 2,4 — 2,6 = -2,6 м/с

В результате мы получили отрицательное значение скорости. Это значит, что в самом начале на рисунке мы направили скорость после удара неправильно.

Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси X. Это никак не влияет на значение получившееся значение.

Ответ: скорость системы тел после соударения равна v = 0,2 м/с.

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Второй закон Ньютона в импульсной форме можно получить следующим образом. Пусть для определенности векторы скоростей тела и вектор силы направлены вдоль одной прямой линии, т. е. движение прямолинейное.

Запишем второй закон Ньютона, спроецированный на ось х, сонаправленную с направлением движения и ускорением:

Применим выражение для ускорения

В этих уравнениях слева находится величина a . Так как левые части уравнений равны, можно приравнять правые их части

Полученное выражение является пропорцией. Применив основное свойство пропорции, получим такое выражение:

В правой части находится Δv =v —v0 — это разница между конечной и начальной скоростью.

Преобразуем правую часть

Раскрыв скобки, получим

Заменим произведение массы и скорости на импульс:

То есть, вектор Δv⋅m – это вектор Δp.

Тогда второй закон Ньютона в импульсной форме запишем так

Вернемся к векторной форме, чтобы данное выражение было справедливо для любого направления вектора ускорения.

Задачка про белку отлично описывает смысл второго закона Ньютона в импульсной форме

Белка с полными лапками орехов сидит на гладком горизонтальном столе. И вот кто-то бесцеремонно толкает ее к краю стола. Белка понимает законы Ньютона и предотвращает падение. Но как?

Решение:

Чтобы к белке приложить силу, которая будет толкать белку в обратном направлении от края стола, нужно создать соответствующий импульс (вот и второй закон Ньютона в импульсной форме подъехал).

Ну, а чтобы создать импульс, белка может выкинуть орехи в сторону направления движения — тогда по закону сохранения импульса ее собственный импульс будет направлен против направления скорости орехов.

Реактивное движение

В основе движения ракет, салютов и некоторых живых существ: кальмаров, осьминогов, каракатиц и медуз — лежит закон сохранения импульса. В этих случаях движение тела возникает из-за отделения какой-либо его части. Такое движение называется реактивным.

Яркий пример реактивного движения в технике — движение ракеты, когда из нее истекает струя горючего газа, которая образуется при сгорании топлива.

Сила, с которой ракета действует на газы, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой газы отталкивают от себя ракету:

Сила F2 называется реактивной. Это та сила, которая возникает в процессе отделения части тела. Особенностью реактивной силы является то, что она возникает без взаимодействия с внешними телами.

Закон сохранения импульса позволяет оценить скорость ракеты.

mг vг = mр vр,
где mг — это масса горючего,

vг — скорость горючего,

mр — масса ракеты,

vр — скорость ракеты.

Отсюда можно выразить скорость ракеты:

Скорость ракеты при реактивном движении

vр = mг vг / mр
mг — это масса горючего [кг]

vг — скорость горючего [м/с]

mр — масса ракеты [кг]

v р — скорость ракеты [м/с]

Эта формула справедлива для случая мгновенного сгорания топлива. Мгновенное сгорание — это теоретическая модель. В реальной жизни топливо сгорает постепенно, так как мгновенное сгорание приводит к взрыву.

Источник

Закон сохранения импульса, кинетическая и потенциальные энергии, мощность силы

Теория к заданию 3 из ЕГЭ по физике

Импульс тела

Импульсом тела называется величина, равная произведению массы тела на его скорость.

Следует помнить, что речь идет о теле, которое можно представить как материальную точку. Импульс тела ($р$) называют также количеством движения. Понятие количества движения было введено в физику Рене Декартом (1596—1650). Термин «импульс» появился позже (impulsus в переводе с латинского означает «толчок»). Импульс является векторной величиной (как и скорость) и выражается формулой:

Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением скорости.

За единицу импульса в СИ принимают импульс тела массой $1$ кг, движущегося со скоростью $1$ м/с, следовательно, единицей импульса является $1$ кг $·$ м/с.

Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила в течение промежутка времени $∆t$, то постоянным будет и ускорение:

где, $<υ_1>↖<→>$ и $<υ_2>↖<→>$ — начальная и конечная скорости тела. Подставив это значение в выражение второго закона Ньютона, получим:

Раскрыв скобки и воспользовавшись выражением для импульса тела, имеем:

Здесь $↖<→>—↖<→>=∆p↖<→>$ — изменение импульса за время $∆t$. Тогда предыдущее уравнение примет вид:

Выражение $∆p↖<→>=F↖<→>∆t$ представляет собой математическую запись второго закона Ньютона.

Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы. Поэтому изменение импульса точки равно изменению импульса силы, действующей на нее.

Выражение $∆p↖<→>=F↖<→>∆t$ называется уравнением движения тела. Следует заметить, что одно и то же действие — изменение импульса точки — может быть получено малой силой за большой промежуток времени и большой силой за малый промежуток времени.

Импульс системы тел. Закон изменения импульса

Импульсом (количеством движения) механической системы называется вектор, равный сумме импульсов всех материальных точек этой системы:

Законы изменения и сохранения импульса являются следствием второго и третьего законов Ньютона.

Рассмотрим систему, состоящую из двух тел. Силы ($F_<12>$ и $F_<21>$ на рисунке, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, называются внутренними.

Пусть кроме внутренних сил на систему действуют внешние силы $↖<→>$ и $↖<→>$. Для каждого тела можно записать уравнение $∆p↖<→>=F↖<→>∆t$. Сложив левые и правые части этих уравнений, получим:

В левой части стоит геометрическая сумма изменений импульсов всех тел системы, равная изменению импульса самой системы — $<∆p_<сист>>↖<→>$.С учетом этого равенство $<∆p_1>↖<→>+<∆p_2>↖<→>=(↖<→>+↖<→>)∆t$ можно записать:

где $F↖<→>$ — сумма всех внешних сил, действующих на тело. Полученный результат означает, что импульс системы могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы направлено так же, как суммарная внешняя сила. В этом суть закона изменения импульса механической системы.

Внутренние силы изменить суммарный импульс системы не могут. Они лишь меняют импульсы отдельных тел системы.

Закон сохранения импульса

Из уравнения $<∆p_<сист>>↖<→>=F↖<→>∆t$ вытекает закон сохранения импульса. Если на систему не действуют никакие внешние силы, то правая часть уравнения $<∆p_<сист>>↖<→>=F↖<→>∆t$ обращается в ноль, что означает неизменность суммарного импульса системы:

Система, на которую не действуют никакие внешние силы или равнодействующая внешних сил равна нулю, называется замкнутой.

Закон сохранения импульса гласит:

Суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел системы между собой.

Полученный результат справедлив для системы, содержащей произвольное число тел. Если сумма внешних сил не равна нулю, но сумма их проекций на какое-то направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление не меняется. Так, например, система тел на поверхности Земли не может считаться замкнутой из-за силы тяжести, действующей на все тела, однако сумма проекций импульсов на горизонтальное направление может оставаться неизменной (при отсутствии трения), т. к. в этом направлении сила тяжести не действует.

Реактивное движение

Рассмотрим примеры, подтверждающие справедливость закона сохранения импульса.

Возьмем детский резиновый шарик, надуем его и отпустим. Мы увидим, что когда воздух начнет выходить из него в одну сторону, сам шарик полетит в другую. Движение шарика является примером реактивного движения. Объясняется оно законом сохранения импульса: суммарный импульс системы «шарик плюс воздух в нем» до истечения воздуха равен нулю; он должен остаться равным нулю и во время движения; поэтому шарик движется в сторону, противоположную направлению истечения струи, и с такой скоростью, что его импульс по модулю равен импульсу воздушной струи.

Реактивным движением называют движение тела, возникающее при отделении от него с какой- либо скоростью некоторой его части. Вследствие закона сохранения импульса направление движения тела при этом противоположно направлению движения отделившейся части.

На принципе реактивного движения основаны полеты ракет. Современная космическая ракета представляет собой очень сложный летательный аппарат. Масса ракеты складывается из массы рабочего тела (т. е. раскаленных газов, образующихся в результате сгорания топлива и выбрасываемых в виде реактивной струи) и конечной, или, как говорят, «сухой» массы ракеты, остающейся после выброса из ракеты рабочего тела.

Когда реактивная газовая струя с большой скоростью выбрасывается из ракеты, сама ракета устремляется в противоположную сторону. Согласно закону сохранения импульса, импульс $m_

υ_p$, приобретаемый ракетой, должен быть равен импульсу $m_<газ>·υ_<газ>$ выброшенных газов:

Отсюда следует, что скорость ракеты

Из этой формулы видно, что скорость ракеты тем больше, чем больше скорость выбрасываемых газов и отношение массы рабочего тела (т. е. массы топлива) к конечной («сухой») массе ракеты.

Формула $υ_p=(>/)·υ_<газ>$ является приближенной. В ней не учитывается, что по мере сгорания топлива масса летящей ракеты становится все меньше и меньше. Точная формула для скорости ракеты была получена в 1897 г. К. Э. Циолковским и носит его имя.

Формула Циолковского позволяет рассчитать запасы топлива, необходимые для сообщения ракете заданной скорости.

Работа силы

Термин «работа» был введен в физику в 1826 г. французским ученым Ж. Понселе. Если в обыденной жизни работой называют лишь труд человека, то в физике и, в частности, в механике принято считать, что работу совершает сила. Физическую величину работы обычно обозначают буквой $А$.

Работа силы — это мера действия силы, зависящая от ее модуля и направления, а также от перемещения точки приложения силы. Для постоянной силы и прямолинейного перемещения работа определяется равенством:

где $F$ — сила, действующая на тело, $∆r↖<→>$ — перемещение, $α$ — угол между силой и перемещением.

Работа силы равна произведению модулей силы и перемещения и косинуса угла между ними, т. е. скалярному произведению векторов $F↖<→>$ и $∆r↖<→>$.

Работа — величина скалярная. Если $α 0$, а если $90° А_п$, КПД всегда меньше $1$ (или $

Источник

Закон сохранения импульса. О чём там вообще речь на понятном языке

Среди законов механики есть, казалось бы, простенький закон, который часто остается в тени. Мы постоянно встречаемся с ним как в нашей жизни, так и на страницах учебников. Часто получается, что разобраться с ним бывает даже сложнее , чем с законами Ньютона или законом сохранения механической энергии.

Речь идёт о законе сохранения импульса . Вопрос относится к теме # классическая механика .

Импульс — это довольно популярное слово в нашей разговорной речи. Оно означает что-то, что исходит от нас или из нас самих. Что-то, что является источником будущего движения или деятельности.

В физике же под импульсом понимается количество движения . Если проанализировать применение слова импульс в быту и жизни, то оно, в целом-то, будет соответствовать обозначенной выше логике и тоже будет подразумевать количество движения. Что это за такое количество движения?

Представьте себе, что вы кого-то ударили . Вполне понятно, что в процессе участвовали такие характеристики, как сила удара и сопротивление среды (пусть ветер). Но даже если мы рассчитали силу, с которой мы ударили человека по второму закону Ньютона и учли все внешние воздействия, мы не можем предсказать, сколько пролетит человек, не понимая в каком количестве мы его ударили. Мы передали ему какое-то количество движения, которое может и дальше перемещать этого человека и рассеиваться на сопротивление внешней среды. Абсолютное значение мы можем рассчитать по стандартным формулам типа F=ma, но есть что-то, что сохраняет это количество. Появляется такая характеристика, как инерция.

Интересно отметить, что никто до сих пор так и не может сказать, что именно является «носителем» этой инерции и что это такое . Часто инерцию связывают с гравитацией. Но пока мы изучаем классическую механику и отвлечемся от этих сложных рассуждений.

Для того, чтобы понять что такое импульс в механике , нужно обратиться, как бы это ни было странно, к истории. Изначально предполагалось, что для движения тела ему постоянно следует сообщать некоторую силу . Было резонно замечено, что если пнуть ногой лежащий камень, то он продолжает лететь даже при отсутствии взаимодействия с этой пнувшей его ногой. Не нужно пинать камень каждую миллисекунду и сохранять связь с ногой, чтобы движение камня продолжалось. Мы бы сказали, что такой камень продолжает движение по инерции .

Инерция — это способность тела оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейно двигаться в отсутствие внешних воздействий, а также препятствовать изменению своей скорости.

Всё здорово, но как посчитать это количество инерции? Ведь где-то её больше, а где-то меньше?

Была выдвинута идея, что перемещающийся предмет обладает неким импетусом , который прямо пропорционален скорости. Кроме того, импетус сохраняется бесконечно, если на перемещающееся тело не воздействуют другие факторы типа ветра.

Но ближе всего к импульсу в нашем современном понимании подобрался Рене Декарт. Он доработал идею с импетусом и сказал, что есть величина «количество движения» . Мало того, что сохраняется количество движения одного тела, так ещё и сохраняется количество движения системы других взаимодействующих друг с другом тел, но изолированных от внешнего мира. По сути дела, речь идёт про вагон метро, который обладает количеством движения вне зависимости от взаимодействия пассажиров внутри него.

Далее представление Декарта об этом вопросе было дополнено «векторностью». Логично было предположить, что направление вектора скорости соответствует направлению количества движения.

Ну а Ньютон довел эту идею до ума.

В итоге, было логично предположено, что количество движения зависит от массы тела, которое вступает во взаимодействие с другим телом и от скорости, с которой это взаимодействие происходит . Считается оно как произведение массы тела, на его скорость. Эту характеристику стали называть импульс тела . Если речь идёт про систему тел, то мы должны найти векторную сумму всех импульсов, входящих в эту систему.

Но ведь именно сила является причиной изменения импульса тела. Эту характеристику стали называть импульс силы . И равна она произведению силы, которая воздействовала на тело на время этого воздействия.

Импульс тела равен импульсу силы .

Это значит, что mV=Ft

Возвращаясь из теории на землю, мы бьем камень с силой два ньютона, взаимодействие ноги и камня длится пусть 0,01 часа. Полученный импульс от ноги — это произведение 0,01 часа на два ньютона. Этого импульса хватит, чтобы камень массой 1 кг полетел со скоростью 0,02 м/с.

Было установлено, что импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы . Что относится к таким характеристикам? Ну в примере с ногой — это тип движения и его взаимодействия.

Получается, что импульс имеет свойство сохраняться . Тот же факт, что мы постоянно не перемещаемся в хаотическим движении связан с тем, что на нас воздействуют другие силы — сила трения, сила тяготения и т.п. и т.д. Мы подходим к закону сохранения импульса:

Закон сохранения импульса утверждает, что сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю.

Значит ли это, что закон сохранения импульса не работает на Земле в обычных условиях ?

Ведь тут далеко не всегда векторная сумма всех сил, действующих на систему, равна нулю. Отнюдь нет! Он работает. Правда «рассеивается» в итоге и полученное количество движение не сохранится постоянно. Использовать же запись вполне допустимо.

Пушка стрельнула, рассчитали начальные скорости ядра по закону сохранения импульса, зная массу ядер, и исходим из того, что скорости эти рассеиваются на внешние воздействия.

Поэтому, закон сохранения импульса проще было бы сформулировать так :

Векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не меняется с течением времени при любых взаимодействиях этих тел.

Зато вот в космосе вполне можно разгуляться.

Так, если ракета разок получит импульс от сгорающего топлива (которое в космосе не горит). поэтому, правильнее сказать — от реактивного движения, то взаимодействием ракеты с другими телами можно пренебречь и принять, что весь импульс от топлива передался ракете и не будет рассеиваться.

Стоит помнить и о том, что закон сохранения импульса является следствием всеобщего закона сохранения энергии и был выведен из него.

Источник